Докажите что при любом значении р уравнение х²+рх+х-1=0 имеет хоть один корень
Для доказательства того, что уравнение х²+рх+х-1=0 имеет хотя бы один корень при любом значении р, можно использовать свойства функций и анализ их графика.\n\nЕсли уравнение имеет хотя бы один корень, это значит, что найдется такое значение х, при котором уравнение будет удовлетворено. Учитывая это, рассмотрим параболу y = x²+рх+х-1.\n\nЧтобы понять, при каких значениях р парабола пересекает ось x и, следовательно, имеет корни, необходимо проанализировать дискриминант квадратного уравнения, полученного из данного параболы.\n\nДискриминант D для данного квадратного уравнения равен b²-4ac, где a=1, b=р+1, c=-1.\n\nДля существования корней у квадратного уравнения необходимо, чтобы D был больше или равен нулю. Исследуя дискриминант, получаем:\n\nD = (р+1)² — 4·1·(-1)\nD = р²+2р+1+4\nD = р²+2р+5\n\nВторое свойство квадратного уравнения гласит, что если D>0, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D=0, уравнение имеет один корень. И если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.\n\nТаким образом, мы должны доказать, что D>0 для произвольного значения р, чтобы уравнение х²+рх+х-1=0 имело хотя бы один корень.\n\nРассмотрим выражение D = р²+2р+5. При любом значении р, парабола y = x²+рх+х-1 будет либо отрицательно ветвиться, либо выпуклой вверх. Это означает, что парабола пересечет ось x и имеет хотя бы один корень, т.к. D>0 для всех значений р.\n\nТаким образом, уравнение х²+рх+х-1=0 имеет хотя бы один корень при любом значении р.
Согласно этой теореме, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает значения f(a) и f(b), отличающиеся по знаку, то существует такая точка c на отрезке (a, b), где f(c)=0.
Применяя эту теорему к данному уравнению x²+рx+х-1=0, мы можем рассматривать его как функцию f(x)=x²+рx+х-1. Для доказательства существования хотя бы одного корня нам нужно найти две точки, в которых функция f(x) принимает значения, отличающиеся по знаку.
Для этого рассмотрим значения функции f(x) при x=0 и x=1:
f(0) = 0² + p * 0 + 0 - 1 = -1\nf(1) = 1² + p * 1 + 1 - 1 = 1+p
Очевидно, что f(0) < 0, а f(1) > 0 при любом значении р. Значит, функция f(x) при любом значении р принимает значения, отличающиеся по знаку.
Согласно теореме Больцано-Коши, существует такое значение c на интервале (0, 1), где функция f(x) равна нулю, то есть f(c)=0. Это означает, что уравнение x²+рx+х-1=0 имеет хотя бы один корень для любого р значения р.
Таким образом, уравнение x²+рx+х-1=0 действительно имеет хотя бы один корень при любом значении р.