Тригонометрияa) tg (x-pi/6) = 1б) sin2x-4sinxcosx-5cos2x=0в) sin2x+sinx cosx=0

a) Найдите значение x:
tg (x-π/6) = 1
x-π/6 = arctg 1 = π/4
x = π/4 + π/6 = 5π/12
Ответ: x = 5π/12
б) Раскройте cos2x через cosx и sinx:
sin2x - 4sinx cosx - 5(1-cos2x) = 0
sin2x - 4sinx cosx - 5 + 5cos2x = 0
6cos2x - 4sinx cosx - 5 = 0
3cos2x - 2sinx cosx - 5/2 = 0
Решим квадратное уравнение относительно cosx:
D = 2sin^2x + 30 > 0, следовательно, есть два корня:
cosx = (2sinx ± sqrt(2sin^2x + 30))/3
Подставляем в исходное уравнение и решаем относительно sinx:
sin2x + sinx cosx = 0
sinx(sin x + cos x) = 0
sin x = 0 или sin x + cos x = 0
Если sin x = 0, то cos x = ±sqrt(2/3).
Если sin x + cos x = 0, то sin x = -cos x = ±sqrt(2)/2.
Подставляем все корни в исходное уравнение и проверяем, что они удовлетворяют его.
Ответ: x = π/6+2πk, x = 5π/6+2πk, x = π/4+2πk, x = 3π/4+2πk, где k-целое число.
в) Разложим sin2x на произведение sinx и cosx:
sin2x + sinx cosx = 0
2sinx cosx + sinx cosx = 0
sinx cosx (2 + 1) = 0
sinx = 0 или cosx = -2
Косинус не может быть больше 1, следовательно, решением является sinx = 0, т.е. x = πk, где k - целое число.
Ответ: x = πk, где k - целое число.