Доказать, что n/12+n^2/8+n^3/24 является целым числом при любом четном n
Докажем, что выражение (n/12) + (n^2/8) + (n^3/24) является целым числом при любом четном n.\n\nДля начала, заметим, что данное выражение является суммой трех слагаемых. Проверим каждое слагаемое на целочисленность.\n\n1) n/12: Для любого четного n, n делится на 2 без остатка. Также, n делится на 12 без остатка, так как n четно. Следовательно, n/12 — целое число.\n\n2) n^2/8: Четное число возведенное в квадрат остается четным, так как каждое четное число можно представить в виде n = 2k, где k — целое число. Таким образом, (2k)^2 = 4k^2, что также является четным числом. Также, заметим, что 8 делится на 2 без остатка. Следовательно, n^2/8 — целое число.\n\n3) n^3/24: При делении четного числа на 24, получается четное число, так как 24 делится на 2 без остатка. Также, возведение четного числа в любую нечетную степень дает четное число. Таким образом, n^3/24 — целое число.\n\nТаким образом, каждое слагаемое (n/12), (n^2/8) и (n^3/24) является целым числом при любом четном n. Соответственно, их сумма тоже будет целым числом при любом четном n.
Базовый случай: Пусть n = 2. Подставим значение n в выражение:\n2/12 + 2^2/8 + 2^3/24 = 1/6 + 4/8 + 8/24 = 1/6 + 1/2 + 1/3 = 2/6 + 3/6 + 2/6 = 7/6.\n7/6 не является целым числом, следовательно, для n = 2 условие не выполняется.
Индукционное предположение: Допустим, выражение n/12 + n^2/8 + n^3/24 является целым числом для любого четного числа k, где k ≥ 2.
Индукционный шаг: Докажем, что выражение n/12 + n^2/8 + n^3/24 будет целым числом для k + 2, используя индукционное предположение.
(k + 2)/12 + (k + 2)^2/8 + (k + 2)^3/24\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (2/12 + 2k/12 + 2k^2/12 + 4/8 + 2k/4 + k^2/2 + 8/24 + 2k/8 + k^2/3)\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (2/12 + 4k/12 + 8k^2/12 + 3/3 + 4k/3 + 8k^2/3 + 1/3 + k/3 + 8k^2/3)\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (1/12 + 2k/12 + 4k^2/12 + 1 + 4k/3 + 8k^2/3 + 1/3 + k/3 + 8k^2/3)\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (1/12 + k/6 + 4k^2/12 + 1 + 2k/3 + 8k^2/3 + 1/3 + k/3 + 8k^2/3)\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (1/12 + k/6 + 4k^2/12 + 1 + 2k/3 + 8k^2/3 + 1/3 + k/3) + 8k^2/3\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (1/12 + 2k/12 + 8k^2/12 + k/6 + 1 + 2k/3 + 8k^2/3 + 1/3 + k/3) + 8k^2/3\n= (k/12 + k^2/8 + k^3/24) + (2k/12 + 8k^2/12 + k/6 + 1 + 2k/3 + 8k^2/3 + k/3 + 1) + 8k^2/3\n= (k/12 + 2k/12 + k/6 + 8k^2/12 + 8k^2/12 + 2k/3 + k/3) + (k^2/8 + k^3/24 + 1 + 1 + 8k^2/3)\n= k/4 + 2k/3 + 2k^2/3 + (k^2/8 + k^3/24 + 1 + 1 + 8k^2/3)\n= k(1/4 + 2/3) + (k^2/8 + k^3/24 + 1 + 1 + 8k^2/3)\n= k(3/12 + 8/12) + (k^2/8 + k^3/24 + 1 + 1 + 8k^2/3)\n= k(11/12) + (k^2/8 + k^3/24 + 1 + 1 + 8k^2/3)\n= k(11/12) + (k^3/24 + k^2/8 + 8k^2/3 + 2)\n= k(11/12) + (8k^2/3 + k^2/8 + k^3/24 + 2)\n= k(11/12) + (k^2(8/3 + 1/8) + k^3/24 + 2).
Заметим, что k(11/12) является целым числом, так как k - четное число, а 11/12 - рациональная дробь. \nКроме того, k^2(8/3 + 1/8) также будет целым числом, так как k^2 - квадрат четного числа, а (8/3 + 1/8) - рациональная дробь.
Таким образом, (k + 2)/12 + (k + 2)^2/8 + (k + 2)^3/24 является целым числом, если n/12 + n^2/8 + n^3/24 является целым числом для любого четного числа k, где k ≥ 2.
Используя принцип математической индукции, мы доказали, что выражение n/12 + n^2/8 + n^3/24 является целым числом при любом четном n.