Даны 2014 положительных чисел. Известно, что проихведение любых сорока пяти из них больше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел так же больше единицы.

Предположим, что существует хотя бы одно положительное число из данных 2014 чисел, такое что его произведение с оставшимися числами равно или меньше единицы. Мы также знаем, что для любой комбинации из 45 положительных чисел из данных 2014 чисел их произведение больше единицы. \n\nДокажем от противного. Пусть существует положительное число x из данных 2014 чисел, такое что его произведение с оставшимися числами равно или меньше единицы. Тогда мы можем разбить остальные числа на группы по 45 чисел каждая (так как каждая комбинация из 45 чисел образует произведение больше единицы). Таким образом, получаем:\n\n2014 = n * 45 + m,\n\nгде n — положительное целое число, m — неотрицательное число меньше 45. \n\nТеперь рассмотрим произведение x и оставшихся чисел:\n\nx * (a1 * a2 * … * am) > 1, \n\nгде a1, a2, …, am — оставшиеся числа.\n\nОднако мы можем переписать произведение x и оставшихся чисел следующим образом:\n\nx * (a1 * a2 * … * am) = (x * a1) * (x * a2) * … * (x * am).\n\nКаждый из факторов в скобках — это комбинация из 45 чисел, и по условию, каждая такая комбинация образует произведение больше единицы. \n\nТаким образом, получаем произведение из 2014 чисел, которое равно:\n\n(x * a1) * (x * a2) * … * (x * am) * (x * a1) * … * (x * am) * … * (x * a1) * … * (x * am)\n\nи произведение каждой такой комбинации будет больше единицы.\n\nСледовательно, если существует хотя бы одно число из данных 2014 чисел, такое что его произведение с оставшимися числами равно или меньше единицы, то произведение всех данных чисел также будет меньше единицы. Однако, это противоречит известному условию о произведении комбинаций из 45 чисел больше единицы.\n\nТаким образом, мы доказали, что произведение всех данных 2014 чисел также будет больше единицы.