1.1.а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3?б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6?в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27?Докажите что:1.2.а) Сумма двух четных чисел есть четное число;б) сумма двух нечетных чисел есть четное число;в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число;г) если х, у — произвольные натуральные числа, то ху (х + у) и ху (х — у) — четные числа.

1.1.а) Натуральные числа, меньшие 100 и делящиеся на 3, могут быть представлены в виде арифметической прогрессии с первым членом 3 и разностью 3. Таким образом, количество таких чисел равно количеству членов в этой прогрессии. Формула для нахождения количества членов в арифметической прогрессии: n = (a2 — a1) / d + 1, где n — количество членов, a1 — первый член, a2 — последний член, d — разность прогрессии. В данном случае a1 = 3, a2 = 99 (так как 100 не включено), d = 3. Подставляя значения в формулу: n = (99 — 3) / 3 + 1 = 33 + 1 = 34. Таким образом, существует 34 натуральных числа, меньших 100 и делящихся на 3.\n\nб) Натуральные числа, меньшие 100 и делящиеся на 6, также могут быть представлены в виде арифметической прогрессии с первым членом 6 и разностью 6. Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для нахождения количества членов в прогрессии. В данном случае a1 = 6, a2 = 96 (так как 100 не включено), d = 6. Подставляя значения: n = (96 — 6) / 6 + 1 = 90 / 6 + 1 = 15 + 1 = 16. Существует 16 натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6.\n\nв) Натуральные числа, меньшие 100 и делящиеся на 27, также образуют арифметическую прогрессию с первым членом 27 и разностью 27. Аналогично, используем формулу: n = (99 — 27) / 27 + 1 = 72 / 27 + 1 = 2 + 1 = 3. Существует 3 натуральных числа, меньших 100 и делящихся на 27.2. Для доказательства данных утверждений используется свойство четности и нечетности чисел.\n\nа) Пусть a и b — два четных числа. По определению четного числа, оно может быть представлено в виде 2k, где k — целое число. Тогда a = 2k1 и b = 2k2, где k1 и k2 — целые числа. Сумма двух четных чисел: a + b = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2). Здесь (k1 + k2) — целое число, что означает, что сумма a + b также является четным числом.\n\nб) Пусть c и d — два нечетных числа. По определению нечетного числа, оно может быть представлено в виде 2m + 1, где m — целое число. Тогда c = 2m1 + 1 и d = 2m2 + 1, где m1 и m2 — целые числа. Сумма двух нечетных чисел: c + d = (2m1 + 1) + (2m2 + 1) = 2(m1 + m2) + 2. Здесь (m1 + m2) + 1 — целое число, а 2 — четное число. Таким образом, сумма c + d представляется в виде суммы четного числа и 2, что является четным числом.\n\nв) Пусть e — четное число и f — нечетное число. По определению четного числа, e = 2n, где n — целое число. Тогда сумма четного и нечетного числа: e + f = 2n + f. Здесь 2n является четным числом, а f — нечетным числом, поэтому сумма e + f представляет собой сумму четного и нечетного числа, что является нечетным числом.\n\nг) Пусть x и y — произвольные натуральные числа. Тогда ху = 2k1, где k1 — целое число, так как произведение двух натуральных чисел всегда является четным числом. Тогда ху (х + у) = 2k1(х + у) = 2(k1х + k1у). Здесь (k1х + k1у) — целое число, что означает, что ху (х + у) также является четным числом.\n\nАналогично, ху (х — у) = 2k2(х — у) = 2(k2х — k2у), где (k2х — k2у) — целое число, поэтому ху (х — у) также является четным числом.