Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найти катеты, если известно, что один из них на 7 больше другого.

Пусть один из катетов равен x см. Тогда второй катет будет равен (x + 7) см.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
13^2 = x^2 + (x + 7)^2
169 = x^2 + (x^2 + 14x + 49)
169 = 2x^2 + 14x + 49
2x^2 + 14x - 120 = 0
Решив этот квадратный трехчлен, получим два значения: x = 5 и x = -6. Отрицательное значение не имеет смысла для длины стороны, поэтому берем положительное значение.
Таким образом, один катет равен 5 см, а второй катет равен 5+7=12 см.