Докажите тождество: а) (sint-cost) ²=1-sin2t; б) 2cos²t=1+cos2t
а) Чтобы доказать тождество (sint-cost)²=1-sin²t, мы будем использовать формулы тригонометрии. \n\nНачнем с левой стороны: \n(sint-cost)² = (sin²t — 2sintcost + cos²t)\n\nМы можем заменить sin²t + cos²t на 1, поскольку sin²t + cos²t = 1. \n\nТаким образом, у нас остается:\n(sin²t — 2sintcost + cos²t) = 1 — 2sintcost\n\nТеперь рассмотрим правую сторону:\n1 — sin²t\n\nМы можем раскрыть это выражение с помощью формулы разности квадратов:\n1 — sin²t = (1 — sin t)(1 + sin t)\n\nТаким образом, мы получаем:\n1 — 2sintcost = (1 — sin t)(1 + sin t)\n\nИтак, левая сторона равна правой стороне, что доказывает тождество.\n\nб) Чтобы доказать тождество 2cos²t = 1 + cos2t, мы также будем использовать формулы тригонометрии.\n\nНачнем с левой стороны:\n2cos²t\n\nМы можем заменить cos²t на (1 + cos2t) / 2, поскольку cos²t = (1 + cos2t) / 2.\n\nТаким образом, у нас остается:\n2(1 + cos2t) / 2 = 1 + cos2t\n\nИтак, левая сторона равна правой стороне, что доказывает тождество.
Начнем с левой стороны:
(sint-cost) ²\n= sin²t - 2sin(t)cos(t) + cos²t [возведение в квадрат]\n= sin²t + cos²t - 2sin(t)cos(t) [по формуле сложения тригонометрических функций]\n= 1 - 2sin(t)cos(t) [так как sin²t + cos²t = 1]
Теперь рассмотрим правую сторону:
1-sin2t\n= 1-(sin²t - cos²t) [по формуле разности квадратов]\n= 1-sin²t + cos²t\n= 1 - 2sin(t)cos(t) [так как sin²t + cos²t = 1]
Таким образом, левая и правая стороны равны, что и требовалось доказать.
б) Для доказательства тождества 2cos²t = 1 + cos2t, также воспользуемся формулами тригонометрии.
Начнем с левой стороны:
2cos²t\n= 2cos²t - 2sin²t + 2sin²t [добавим и вычтем sin²t]\n= 2(cos²t - sin²t) + 2sin²t\n= 2cos(2t) + 2sin²t [по формуле двойного угла]
Теперь рассмотрим правую сторону:
1 + cos2t\n= 1 + cos²t - sin²t [по формуле разности квадратов]\n= cos(2t) + sin²t [по формуле двойного угла]
Таким образом, левая и правая стороны равны, что и требовалось доказать.